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高三数学指导:掌握常规数学思维模式(组图)
来源: 城市快报 作者: 2009-02-03 17:34:34

图1

图2

图3

  特级教师 刘勋

  文科考生说,我们不考“数归法”,我告诉你:“归纳——猜想——验证”,这是一个解答题、体现思维能力的好的思维模式。

  分析、讨论、判断、取舍;归纳——猜想——验证;一般——特殊相互转化,这些最基础、最常规的思维模式,妙用无穷,“看似寻常最奇崛,成为容易却艰辛”(王安石)。

  2、方程式←→函数化

  方程问题函数化,函数问题方程化,这两化把方程的思想,函数思想融为一体,相互转化,使“利用函数性质解题”这个数学的大课题生辉,诸如不等←→函数增、减等一系列的简单思维模式到处可用。

  二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)求极值方法之一是判别式法(函数问题方程化)∵方程ax2+bx+(c-y)=0有实根,∴△=b2-4a(c-y)≥0

  4ay≥4ac-b2 a>0时 y≥■即

  y小=■;a<0时,y≤■

  即y大=■

  例2.已知A、B是△ABC的两个内角,且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根,求实数m的取值范围。

  韦达定理,和积关系→常见转化方式

  ■

  ∴A+B=45°→x1=tanA<1,x2=tanB<1

  且都大于0。

  难点如何定m的范围:函数化。

  f(x)=x2+mx+m+1有二正根且都在(0,1)之间的条件:(△≥0不能保证根的范围)

  对照图象:

  ■

  (为什么不必△≥0?你能很清晰吗?)

  解得:-1

  这是典型的方程问题函数化,确定参数取值范围的试题。

  例3.(2008上海 理11)方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图像与函数y=■的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk(k≤4),所对应的点(x1,■)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是_________。

  答案:(-∞,-6)∪(6,+∞)

  ●解法1:依题意x4+ax-4=0←→x3+a=■ 由图示及奇函数y=x3的图像关于原点对称的性质,得知当y=x3+a的图像从过B点起,向下平移或向上平移时,交点均在y=x同侧。

  ∵A(-2,2),B(2,2),∴把A、B坐标代入y=x3+a得a=-6或a=6,故a<-6或a>6即为所求。

  ●解法2:依题意,结合图形分析,■,得y=a+8或y=a-8

  分别令y<2或y>-2,得a<-6或a>6。

  [点拨评析]作为一道综合性较强、分值不高的填空题,从“数形结合”的思想出发,通过作图开辟解题思路,简明、具体。试题本身就在提示你,“数形结合”可以作为一种思维模式,实现方程化←→函数化的完美结合。

  解题的通式、通法都可以从中提炼出可操作的模式,形成思维规律。如解不等式sinx>■。如下思维操作定能“做一题,通一类”。

  1.结合周期T=2π,可先找x∈(0,2π)的解集,再一般化;2.结合函数值的符号先肯定或否定两个区间:sinx>■,Ⅲ、Ⅳ象限均不是解;3.结合单位圆先找相等的界限sinx=■,x=■或x=■;4.根据函数单调性,作取舍:■

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